えまログ

機械学習、プログラミング、数学に関する記事を書いていきます。

行列式の対数を行列で偏微分する公式の証明

線形代数 証明 数学

今回は，線形代数でよく使う以下の公式の証明を行います．

 \frac{\partial}{\partial A}ln|A| = (A^ {-1})^ T

ここで， Aは正則な正方行列とします．

導出


 \frac{\partial}{\partial A}ln|A| 
= \frac{1}{|A|}\frac{\partial |A|}{\partial A} \\\\  
= \frac{1}{|A|} |A|(A^ {-1})^ T \qquad(\because \frac{\partial |A|}{\partial A} = |A|(A^ {-1})^ T )\\\\  
= (A^{T})^{-1} \qquad \qquad(\because (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T})

公式を使って式を変形するだけなので，わかりやすいかと思います．
\frac{\partial |A|}{\partial A} = |A|(A^ {-1})^ T の公式の証明を以下の記事に載せているので，よろしければ参考にしてください．

行列式を行列で偏微分する公式の証明 - えまログ

参考文献

この記事は，以下を参考にしました．

余因子と余因子展開 | 大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門

転置行列の意味・重要な7つの性質と証明 | 高校数学の美しい物語

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